RUTA CRITICA (PERT)

Ruta Critica (C,E,F,=13 dias)

Costo Variable del proyecto å =Cn= $5100que sale de la suma de Cn

CV= 7400 – 5100 = 2300 = 209.0909
29-18 11

COSTO OPTIMO DE PROYECTO
CT+CFx Pert (día)
Costo Optimo= (5100+800)(13)= 76700

PROBLEMA DE GRAFICAS GANTT

te=a+4m+b
6

te= 3+4(5.5)+11
6

te=6 weeks

El tiempo esperado para realizar la tarea “C” seria de 6 semanas o weeks.

Desviación Estándar:
σ = tb-ta
6

Para determinar la desviación estándar de las tareas se utiliza el siguiente procedimiento:

a) σ = 4-2 = 2 =0.33
6 6

b) σ= 8-4 = 4 = 0.66
6 6

c) σ = 11-3 = 8 =1.33
6 6

d) σ = 5.5-2.5 = 0.5
6

e) σ = 4-2 = 2 = 0.33
6 6

f) σ = 7-3 = 0.66
6

g) σ = 7-3 = 0.66
6

h) σ = 8-2 = 6 = 1
6 6

i) σ = 1-1 = 0 = 0
6 6


El te del proyecto = Σ de los tiempos Estimados (te) de todos las actividades elegidas como ruta critica.
Variación (varianza) del tiempo del proyecto =Σσ ^2 de la ruta critica y con este dato ya se calcula la (σ) desviación estándar.

σ2 = (0.33)2+ (0.66)2+ (1.33)2+ (0.33)2+ (0.66)2+ (1)2+ (0)2

σ2 = 3.86 que es la varianza total del proyecto en semanas.
La (σ) total del proyecto es de 1.97 weeks.

PUNTO DE REORDEN

Es la cantidad mínima que indica cuando realizar la orden de compra este queda sujeto al Tiempo de entrega de proveedores..


Ejercicio:

Una empresa determina mediante datos controlables y de producción para un artículo, que el costo de compra es de $35 pesos por pedido, y $2.20 por parte el costo de mantener el inventario es del 18% como promedio.
Si la empresa compra $22,000 de esa parte por año.
a) Cual deberá ser la cantidad económica a ordenar EOQ.

Q=√ 2(35) (22000) Q=√1’540,000 Q= 1,972.02 piezas
(18) (2.20) 0.396


b) Cual es el número óptimo de pedidos por año que minimice los costos de la empresa (N).

N= D N= 22000 N= 11.15 no. de ordenes
Q 1972.02


c) Cual es el no. Optimo de días de suministro por pedido óptimo (T).

T= 225 T= 20.17 días.
11.15

RESUMEN PERT

Pert/Tiempo

Se necesita 6 pasos para desarrollar el proyecto Pert/tiempo los cuales son los sig:

• Construcción de la red Pert: Se trata de desarrollar una secuencia lógica, de las actividades por realizar, el proyecto y la correlación de estas actividades respecto al tiempo. Al construir un diagrama de flechas debe pensar en todas las actividades requeridas y en sus relaciones correspondientes en cuanto al tiempo, se tiene que desarrollar una lista de las actividades del proyecto.
  Los números encerrados en círculos, reciben el nombre de eventos o nodos estos son puntos del tiempo contrastados con las actividades que tienen cierta duración o longitud, ningún evento se puede numerar hasta que haya sido numerado primero el extremo de cada flecha cuya punta señale hacia el evento siguiente.En algunos casos, requiere del uso de flechas que no representen ninguna actividad y que solo se insertan para que el modelo de actividades estas reciben el nombre de flechas ficticias y se representan con flechas de líneas punteadas. Se puede hacer que un evento sea terminal de dos actividades o se inicien.
• Cálculo del tiempo esperado: Debe estar claro que el tiempo más probable (m) debe llevar un peso mucho mayor que el más optimista (a) y el más pesimista (b). El tiempo esperado te representa el valor específico del tiempo (horas, días, semanas, etc). En una curva acampanada normal, como se dijo previamente, el tiempo probable es el tiempo promedio o tiempo esperado. Sin embargo cuando es cargada hacia la derecha o hacia la izquierda, el tiempo esperado estará hacia la derecha o izquierda del valor más probable, dependiendo de las tres cifras del tiempo.
  Te= a+4m+b
  6
• Determinación del tiempo más próximo y más tardío: Un evento puede tener uno o más valores, depende de la relación actividad- tiempo. El tiempo del evento cero se convierte en el tiempo base a la que se suman todos los tiempos subsecuentes. Se debe optar por el tiempo más próximo de “x” semanas como el tiempo esperado más próximo para el evento.
• Determinación de la ruta o rutas criticas: Es el trayecto del tiempo más largo que la cruza, su tiempo más próximo Te, es igual a su tiempo mas tardío TL. En consecuencia, no hay tiempo de holgura o de sobra.
• Cálculo de holgura: En consecuencia la red permite ver cuales actividades se puede y se debe ahorrar tiempo y en cuales otras se puede apresurar un poco el programa durante cierto periodo, si resulta ventajoso hacerlo.La formula de la holgura S (total) es la siguiente:
  S=TL-Te
• Evaluación de la red Pert: El análisis de sensibilidad es muy importante.Si los tiempos totales no son satisfactorios dispone de varios métodos de ajuste entre éstos el intercambio de trabajadores, máquinas y materiales de las rutas no críticas a las críticas.

Pert/Costos

la cifra más baja se debe reducir substancialmente, su utilidad depende directamente de los datos con que se alimente al sistema de computación. La desviación estándar es una medida de la dispersión relativa de una distribución de probabilidad respecto a su media. Esta distancia puede representarse por aproximadamente +/- 3 desviaciones estándar () que puede expresarse matemáticamente como sigue:

6σ= b-a

σ=b-a
6

En consecuencia, una desviación estándar para una actividad es igual a (b-a)/6.
La suma de las desviaciones estándar elevadas al cuadrado para cada actividad. La formula se da como:
2 2 2
√Σσ1+σ2 +…σ n

Proporciona un enfoque para mantener la planeación actualizada al irse cumpliendo los diversos eventos, prever rápidamente el efecto de las desviaciones respecto al plan y realizar una acción correctiva anticipada en las áreas con problemas latentes. Todos los controladores conocen el momento preciso de iniciación de su trabajo, ayuda a eliminar la vaguedad de las asignaciones de responsabilidades.

Proporciona un número de verificaciones y salvaguardadas para evitar que se incurra en errores al desarrollar un plan. El costo de las redes PERT/Tiempo varía del 0.5 a 2% de los costos totales del proyecto. PERT/Costos, los costos son de 1 al 5% sobre los costos totales del proyecto.

RESUMEN GANTT

DEFINICIÓN

Es la gráfica que representa el trabajo por realizar. Tiene una escala de tiempo en su parte inferior, que representa las tareas o actividades especificas tocantes al proyecto total.

Gráfica Gantt con metas parciales

Para mostrar las interrelaciones entre todas éstas en un proyecto, se logran en tres pasos:

• La eliminación de los rectángulos, estos son reemplazados por las flechas que unen las metas intermedias

• Consiste en sumar las relaciones que existen entre ellas las metas intermedias de las diversas actividades.
  
• Por ultimo se deben eliminar el término tarea o actividad, como también la escala horizontal de tiempo de la grafica gantt y se reemplaza con el tiempo individual de cada una de las flechas. Cada rama de la red tiene su propio valor de tiempo, permite utilizar la red para proyectos extensos y complicados. Esta se convierte en red Pert.

USO DE LAS GRÀFICAS PERT

Es un instrumento diseñado especialmente para la dirección, permitiéndole planificar, programar y controlar los recursos de que dispone, con el fin de obtener los resultados deseados.

La Técnica P.E.R.T., traza un método eficaz para reducir los riesgos tomando aquellas decisiones que tengan mayor probabilidad de éxito.

PERT (Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos), que es un refinamiento del método de la ruta crítica, en la cual se elaboran estimados de los tiempos optimistas, más probables y pesimistas para la terminación de cada elemento en el proyecto.

Este análisis también muestra las fechas de primera y última de inicio y de terminación para cada elemento en su propia secuencia con otros elementos.

La red se representa gráficamente de la siguiente forma.
-Cada actividad se representa por una flecha.
-Cada suceso o situación se representará por un círculo, elipse, o cuadrado, en cuyo interior se consignará un número.
-En consecuencia cada actividad estará limitada por 2 números, de los cuales el 2º siempre será mayor que el 1º.
-Entre dos sucesos o nudos solo puede haber una actividad.
-A veces es necesaria la utilización de actividades ficticias, es decir, actividades que suponen una pausa, una espera, etc., y que no exigen un trabajo.
-Todo nudo describe la relación completa entre las actividades que en él terminan, y las que parten de él. da elemento en su propia secuencia con otros elementos.

Ejemplo N°1: Línea telefónica
Un proyecto es un conjunto de tareas relacionadas entre sí. Cada tarea tiene algún tipo de prioridad respecto de otra. Es decir existe antecedencia y consecuencia entre las tareas.
Supongamos el siguiente proyecto:
Se debe tender una línea telefónica a lo largo de una ruta. Para esto se debe: a) hacer agujeros, b) erguir postes y finalmente c) tender la línea. Con fines operativos dividimos a la ruta en dos sectores (1 y 2). Tenemos un equipo capaz de cavar, otro de postear y otro de tender la línea.
El esquema de prioridades es el que sigue:
Donde:
A1 : Agujereado del sector 1
A2 : Agujereado del sector 2
P1 : Posteado del sector 1
P2 : Posteado del sector 2
T1 : Tendido del sector 1
T2 : Tendido del sector 2

Colocamos las duraciones de cada tarea sobre los arcos correspondientes. Comenzamos el proyecto en el día 0. Comenzamos la tarea AB el día 0. En los ejemplos dados aquí supondremos siempre que la duración está expresada en días.
¿Cuál es la fecha más temprana que puedo estar en el suceso B, para comenzar con BC y BE?
(El suceso B indica la finalización de AB, el comienzo de BC y el comienzo de BE)
Obviamente el día 2, que es el tiempo que tardamos en hacer AB.

¿Cuál es la fecha más temprana que puedo estar en el suceso C, para comenzar CD?
(El suceso C indica la finalización de BC, el comienzo de CD y el comienzo de ED).
Obviamente el día 5, que es el tiempo que tardamos en hacer BC, más lo que tardamos estar en B ( 3 + 2 = 5 ).

¿Cuál es la fecha más temprana que puedo estar en el suceso E, para comenzar ED?
Debemos decidir entre 5 y 6 .Determinamos que la fecha más temprana para comenzar ED es 6.
¿Cuál es la fecha más temprana que puedo estar en el suceso D, para comenzar con DF?
¿En que fecha llegamos al suceso F, terminando el proyecto y la tarea DF ?
Nuestro proyecto se puede realizar en 15 días. El menor tiempo que necesitamos para realizar el proyecto es de 15 días.
Fecha tardía
La última fecha que tenemos para finalizar la tarea DF ( y el proyecto ) es el día 15.
¿ Cuál es la fecha tardía para comenzar con la tarea DF ? 9. ( 15 - 4 = 9).
Supongamos que la comienzo el día 12. Entonces : 12 (suceso D) más 4 (duración DF) hace que e proyecto termine el día 16, es decir un día más tarde.

Se aplica el mismo criterio para comenzar con la tarea ED

¿Cuál es la fecha tardía para el suceso C ? Debemos elegir entre ( 11 - 2 = 9) y ( 6 - 0 = 6).
Nota: Recuerde que la duración de una tarea ficticia es 0 (no existe como tarea real).

Uso de las gráficas de Gantt para la programacion de proyectos.

Una gráfica de Gantt es una forma fácil para calendarizar tareas. Es una gráfica donde las barras representan cada tarea o actividad. La longitud de cada barra representa la longitud relativa de la tarea.

La ventaja principal de la gráfica de Gantt es su simplicidad, el analista de sistemas encontrará que está técnica nop solamente es fácil de usar, sino que también lleva por sí misma a una comunicación valiosa con los usuarios finales. Otra ventaja del uso de una grafica de Gantt, es que las barras son trazadas a escala indicando la longitud relativa del tiempo.

PASOS EN LA APLICACIÓN DE LA TÉCNICA
La elaboración de Gantt comprende los siguientes pasos:

1. Identificar el programa, proyecto y sus objetivos.

2. Establecer actividades del programa, los supuestos y limitaciones de recursos.

3. Describir quien ejecutará cada actividad, cómo, con qué recursos y en qué comento. (Actividades y secuencia).

4. Determinar el tiempo de duración de cada actividad.

5. Representar las actividades secuencialmente mediante la utilización de barras de tamaño proporcional a su duración.

6. Después de elaborar el gráfico de Gantt, se procede a ejecutar el programa y controlar las actividades programadas con relación al cumplimiento de las actividades ejecutadas.

Por ejemplo en la programación del lanzamiento de un producto las actividades pueden ser las siguientes:
a. Analizar la necesidad de aplicar la encuesta.

b. Precisar objetivos de la encuesta.

c. Reclutar encuestadores.

d. Entrenar encuestadores.

e. Diseñar formularios.

f. Imprimir formularios.

g. Aplicar encuesta.

h. Analizar Resultados.

i. Elaborar informe.

Una vez se han determinado las actividades, los responsables de la ejecución, los recursos, el cómo y en qué momento, podemos determinar el tiempo y secuencia de las actividades; que para nuestro ejemplo puede ser:

Posteriormente se procede a ejecutar el programa y controlar los resultados de las actividades ejecutadas con relación a las actividades programadas representado a aquellas con la convención ya vista u otra semejante que permita diferenciarlas e identificar retrasos o excesos. Sobre la convención de actividad o trabajo programada se puede escribir la cifra de la cantidad realizada.

Método de la Gran M

Para que entiendas mejor el método de la Gran M pon atención a lo siguiente:
1.-Pasar a la forma estándar el modelo matemático.
2.-Agregar variables artificiales en las ecuaciones que no tienen variables de holgura.
3.-Se deben penalizar a las variables artificiales en la función objetivo asignándoles coeficientes positivos muy grandes. Sea M un número muy grande. ( En los modelos de Minimización la penalización para cada variable artificial se suma y en los de Maximización se restan).
4.-En la función objetivo no deben aparecer variables básicas por lo que se hace necesario eliminar las variables artificiales de la F.O.(Quitar las "M" de las columnas de las artificiales).
5.-Con la solución inicial artificial se aplica el método simplex de la forma acostumbrada generando las tablas necesarias para llegar a una solución.
Notas:
*Cuando una solución contiene variables artificiales básicas igual a cero entonces la solución sí es factible con respecto al problema original.
*Si el problema no tiene solución factible, cuando menos una variable artificial será positiva en la solución óptima.

Cuando tenemos restricciones de igualdad, de mayor o igual; cuando algunas de las bi son negativas o queremos minimizar, para usar el simplex, debemos identificar una solución básica inicial.
Se revisa el problema añadiendo variables artificiales, sólo con el propósito de que sea la variable básica inicial para esa ecuación. Son variables no-negativas y se altera la función objetivo para que imponer una penalidad exhorbitante en que estas variables artificiales tengan valores mayores de cero. El método del simplex entonces hace desaparecer estas variables hasta que el problema real es resuelto.
Un ejemplo de este método es el siguiente:
Maximizar: Z3x1+5x2
X1≤4 *con signos mayor que o menor que agrego holgura
2x2≤12
3x1+2x2=18 *con signo = agrego artificial
X1 X2 ≥0

La función objetivo se debe panalizar con -MA1, por ser maximización y para hacer a z=0 por lo tanto, Z-3X1-5X2+MA1=0

Entonces las restricciones quedarían:
X1+H1=4
2X2+H2=12
3X1+2X2+A1=18

Mètodo de Vogel

Este método es heurístico y suele producir una mejor solución inicial que los métodos anteriores. De hecho, suele producir una solución inicial óptima, o próxima al nivel óptimo. Los pasos del procedimiento son los siguientes .

1.- Evalúese una una penalización para cada renglón (columna) restando el menor elemento de costo del renglón (columna) del elemento de costo menor siguiente en el mismo renglón (columna).

2.- Indentifíquese el renglón o columna con mayor penalización, rompiedo empates en forma arbitraria. Asigne el mayor valor posible a las variables con el costo más bajo del renglón o columna seleccionado. Ajústese la oferta y la demanda y tachese el renglón o columna satisfecho. Si un renglón y una columna se satisfacen al mismo tiempo, sólo uno de ellos se tacha y al renglón (columna) restante se le asigna una oferta (demanda) cero. Cualquier renglón o columna con oferta o demanda cero no debe utilizarse para calcular penalizaciones futuras (en el paso 3).

3.- a) si sólo hay un renglón o columna sin tachar, detengase. b) si sólo hay un renglón (columna) con oferta (demanda) positiva sin tachar,determinese las variables básicas del renglón ( columna) a través del método de costo mínimo. c) si todos los renglones o columnas sin tachar tiene oferta y demanda cero asignadas, determínese las variables básicas cero a través del método de costo mínimo. Deténgase. d) de lo contrario, calcúlese las penalizaciones de los renglones y columnas no tachados y después diríjase al paso 2. (Obsérvese que los renglones y columnas con oferta y demanda cero asignadas no deben utilizarse para determinar estas penalizaciones).

Fòrmula

m+n-1

3+8-1=10

EJERCICIO DE METODO SIMPLEX MINIMIZACIÓN

Z=3m+4n-8ñ

3m-4n ≤12
m+2n+ñ ≥ 4
4m-2n+5ñ ≤20

m≥0;n≥0;ñ≥0

Como es un problema de minimización recordemos que tenemos que maximizar la función objetivo o sea queda así:

-3m-4n+8ñ+Z=0

Las inecuaciones las hacemos igualdades

3m-4n=12
m+2n+ñ=4
4m-2n+5ñ=20

Ahora tenemos que hacer nuestra tabla 1 y aplicaremos el mismo procedimiento del método simplex para la maximización.

Ahora de la tabla tomaremos el MAYOR POSITIVO en este caso es el 8 y ya encontramos nuestra columna pivote.

Posteriormente dividimos 20/5=4 4/1=4 12/0=0 y tenemos que tomar el número menos de estas divisiones en este caso tenemos dos, cuartos podemos tomar cualquiera.
Y ya encontramos nuestro pivote operacional donde en este caso será 1, ahora tenemos que dividir toda esa fila entre este 1, para poder resolver la sig tabla:
Si nos damos cuenta la ñ ahorra ya paso a la base.
El problema se termina aquí porque ya nos quedaron puros negativos y ceros en nuestra función objetiva y esto es lo necesitábamos.

Se cumplió 0≤12 y la de 1.25≤20

METODO DE TRANSPORTE

El problema de transporte tiene que ver con la selección de rutas entre las plantas de fabricación y bodegas de distribución o entre bodegas de distribución.
Al aplicar el método de transporte la gerencia está buscando una ruta de distribución que optimizará algún objetivo: la minimización del costo total de transporte, la maximización de utilidades o la minimización del tiempo total involucrado.

Como su nombre lo indica el método de transporte fue formulado por primera vez como un procedimiento especial, para encontrar el programa de costo mínimo, para distribuir unidades homogéneas de un producto desde varios puntos de abastecimiento (fuentes) a varios puntos de consumo (destino).

EJEMPLO
Una empresa transnacional tiene 3 plantas X, Y, y W y estas surten de un producto a 7 almacenes A, B, C, D, E, F, G que forman parte del grupo empresarial debemos considerar a la relaciona al costo de transporte desde la planta a cada almacén.

Tenemos que contar la columna ficticia

m+n-1
3+8-1
10

METODO DUAL

Para cualquier problema de Programación Lineal debe tener se metodologia (dual) el problema primal puede tener mas restrcciones que variables esto significa la solución dual. Y debe resolverse con nuevas restrcciones.

1. Si el primal se refiere a maximizar, el problema Dual será minimizar.
2. Los coefcientes de la función objetiva del primal serán coeficientes del vector de disponibilidad de recursos en el Dual.
3. Asi los coeficientes del vector disponibilidad de recursos del problema primal, seràn coeficientes de la función objetivo (vector costos, precios o utilidad) en el problema Dual.
4. Los coeficientes de las restricciones en el primal (transpuesta de la matriz) será la matriz de los coeficientes en el Dual.
5. Los signod de desigualdad del problam Dual son contrarias a los del probla primal.
6. Las variables "X" del primal, se convierten en nuevas variables "Y" en el dual.

PRIMAL DUAL

Maximizar Minimizar

Minimizar Maximizar

≥ ≤
≤ ≥

Considerando el siguiente problema primal, calcular su modelo Dual

Sea maximizar Zmax =3x+5y

Sujeto a: x≤4

y≤6

3x+2y≤18

x+4y≤10

• x,y≥0

Zmin= 4z1+6z2+18z3+10z4

Podemos los coeficientes disponibilidad en forma de vector columna (matriz) primal.

4
b = 6 y lo representamos en forma de vector fila
18 (matriz transpuesta).

bt= 4 6 18 10

Tomamos la matriz primal de las restricciones y queda asi.

1 0
A = 0 1
3 2
1 4

At= 1 0 3 1
0 1 2 4

Tomamos la F.O. para convertirla en matriz y queda de la sig forma:

C= 3 5

Ct= 3
5

El resultado como cosecuencia de un sistema primal a un sistem dual queda de la siguiente forma:

At ; bt ; Ct

METODO DUAL

Esquina Noroeste

METODO DE ESQUINA NOROESTE
En este mètodo se inicia la asignaciòn en el renglòn 1 y columna 1 (esquina noroeste) y formar una base asignando cantidades a las rutas, de tal forma que se agoten las existencias de las fàbricas y se satisfaga la demanda del mercado .

4 agencias ordenan autos nuevos que deben llegar desde 3 plazas, la agencia A necesita 6 autos, la agencia B requiere de 5, la agencia C 4 y la D REQUIERE 4.

La planta 1 tiene 7 autos en stock, la planta 2 tiene 13 y la planta 3 tiene 3. El costo de enviar a un auto de la planta a la agencia se puede ver en la siguiente tabla:
Tabla de distribuciòn:

Mètodo de las dos fases

Fase 1: Formula un nuevo problema reemplazando la funciòn objetivo por la suma de variables artificiales.
La nueva funciòn objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. Si el problema tiene un espacio factible el valor mìnimo de la funciòn objetivo optima sera cero.
Nota: Si el valor mìnimo de funciòn objetivo òptima es mayor que cero el problema no tiene soluciòn y termina anotàndose que no existen soluciones factibles.
Fase 2: Se utiliza la soluciòn òptima de la fase 1 como soluciòn de inicio para el problema original. En este caso la funciòn objetivo original se expresa en tèrminos de las variables no bàsicas utilizando las eliminaciones Gauss-Jordan.
Un ejemplo para que comprendas mejor este mètodo es el siguiente:

Minimizar : Z=6x1+4x2+4X3

Sujeto a: 3x1+6x2>_20
2x1+x2+2x3=15
x1,x2,x3>_0

Fase 1:

Minimizar : Z=R1

Sujeto a: 3X1+6X2+X3+S1=20

2X1+X2+2X3+R1=15
X1,X2,X3>_0

Fase 2:

Maximizar Z=6x1+4x2+4x3+0S1
Z-6X1-4X2-4X3-0S1=0


Soluciòn Optima:
x1=0
x2=25/11
x3=70/11
z=380/11

METODO DE ASIGNACIÒN

CONCEPTO

Estos problemas ocurren en muchos contextos de la administración. En general consisten en el problema para determinar la asignación óptima de agentes objetos “indivisibles”, en el sentido de que ningún agente se puede dividir entre varias tareas. La restricción importante, para cada agente, es que será designado a una solo una tarea.


El problema de asignación puede resolverse como un problema de transporte en el cual la oferta de cada origen y la demanda de cada destino son iguales a 1, o con le método simplex, sin embargo el método Húngaro resuelve este tipo de asignaciones de una manera mas sencilla.
El enfoque general de este alogaritmo consiste en "reducir" la matriz de costos mediante una serie de operaciones aritmeticas.

• EJEMPLO DE CASO DE MINIMIZACIÓN
  

El presidente de Industrias RACR-Europa, cuya gerencia general se encuentra en Bruselas, ha decidido este año, como parte de su auditoria anual, que cada uno de los cuatro vicepresidentes visite e inspeccione una de las plantes de ensamblaje durante las dos primeras semanas de junio. Las plantas de ensamble esta ubicadas el Leipzig, Alemania; Nancy, Francia; Lieja, Bélgica y Tilburgo, Holanda. En este tipo de problemas utilizaremos el método de aignación o método húngaro, el cuál consiste en los siguientes pasos:


PASO 1 Elaboración de la tabla de costos por asignación.

PASO 2 Restar el valor mas pequeño de cada uno de los demás valores de la columna:

En la priemra columna Leipzig, el valor más pequeño es 11. Este valor se le resta a los demás valores de la columna.


En la segunda columna Nancy, el valor más pequeño es 10.
En la tercera columna Lieja, el valor más pequeño es 10.
El la cuarta columna Tilburgo, el valor más pequeño es 11.




PASO 3. Resta el valor más pequeño de cada renglon de los demàs valores de ese renglon.
En el primer renglon, el valor más pequeño es 0.
En el segundo renglon, el valor más pequeño es 0.
En el tercer renglon, el valor más pequeño es 4.
En el cuarto renglon, el valor más pequeño es o.

PASO 4. Se traza el minimo número de líneas que puedan pasar através de todos los ceros de la tabla. Las lineas diagonales no se permiten. En algunos casos este paso causa dificultades, ya que ordinariamente hay muchas formas de trazar estas lineas. Las diferentes alternativas son posibles siempre y cuando el número de lineas sea mínimo.

Por ejemplo se pueden trazar las líneas en la tabla de la siguente manera :

Este trazado abarca todos los ceros de la tabla, pero se realizó con 3 lineas únicamente, por lo tanto este trazado es mejor.

PASO 5. Despues de trzar el número mínimo de líneas se hace la prueba de optimalidad. Si en número de líneas es igual a n (número de renglones o columnas), es la solución óptima. Si el número de líneas es menor a n, se requiere continuar con el proceso hasta calcular la solución óptima. En la tabla, el número de líneas es de 3 y el de renglones/columnas 4, por lo tanto hay que continuar con el procedimiento, el cual consiste de los siguientes pasos:

De los valores que no se tacharon, se selecciona el mínimo, en este ejemplo el mínimo es 3. Este valor se debe restar a todos los valores que no están cruzados por ninguna linea.

También se debe sumar esta cantidad a todos los valores situdos en la intersección de líneas.

Todos los demás valores (los que están cruzadoz únicamente por una línea), permanecen inalterados.

PASO 6. Esta tabla es posible solución, por l otanto hay que realizar el procedimiento a partir del paso 4.
Trazando el mínimo número de líneas para cubrir todos los ceros, se obtiene lo siguiente

La prueba de optimalidad: ¿número de líneas= número de reglón/columna? En este caso hay 3 líneas y 4 renglones/columnas, por lo tanto hay que continuar con el procedimiento.

Se elige el mínimo valor de los valores de la tabla que no estàn cruzados. En este caso 1.

Se resta valor a todos los valores de la tabla no cruzados de la tabla y se suma a los valores de las casillas situadas en la intersección de líneas, los demás valores permanecen inalterados.

El resultado de la nueva tabla es:
Es una nueva posible solución, por lo tanto, se repite el procedimiento a partir del cuarto paso.
Se traza el mínimo número de líneas que cubran todos los ceros de la tabla.

Se realiza la prueva de optimalidad, como el núero de líneas es igual al número de rengloes, el proceso termina. La solución óptima se localiza en la casilla que contiene cero, lo cual significa que es la asignación de la intersección.

La casilla del primer renglón , segunda columna tiene un cero, como es la intesección de Finanzas y Nancy, quiere decir que se asignará la Ciudad de Nancy, Francial al vicepresidente de Finanzas.

Como habrá renglones que tengan más de 2 ceros, se recomienda que se comience con los renglones de un solo cero, de esa manera podremos eliminar esa asignación y continuar con las que queda.

• EJEMPLO CASO MAXIMIZACIÓN
  

Un administrador enfrenta el problema de asignar cuatro nuevos métodos a tres medios de producción. La asignación de nuevos métodos aumenta las utilidades, según las cantidades mostradas en la siguiente tabla. Determinar la asignación óptima si solo puede asignarse un método a un medio de producción

El procedimiento a seguir es el explicado en el caso de minimización, excepto que después del paso 1 se deberá realizar un paso intermedio el cual consiste, en:

• Selccionar de toda la tabla del paso 1 el término númerico mayor.


• Seleccionado este término, se debe restar todos los demas valores de la tabla original.


• En caso de que la tabla no tenga igual número de renglones que de columnas se debe completar dicha matriz en renglones o columnas, según faltaren para que éstos sean iguales. Los costos o términos numéricos de las casillas deberán ser cero.

PASO 1. Realizar tabla inical.

PASO ADICIONAL: Selecionar el máximo valor de la tabla (13.5) y restar a todos los valores de la tabla, así como complementar el número de columnas, ya que hay cuatro renglones y solo 3 columnas.
Máximo valor de la tabla 13.5

PASO 2. A partir de aquí, y con esta tabla, se realiza el procedimiento exactamente igual que si fuera minimización.

Maximizar la funciòn objetivo

Condiciòn de no negatividad

x,y <_0

1.Convertir las inecuaciones en ecuaciones.

2.Igualar la funciòn objetivo a 0.

3.Escribir la tabla inicial SIMPLEX

4.Seleccionar el no. negativo mayor en valor absoluto de la funciòn objetivo .

5.Hacer la tabla de valores nuevos coeficientes.

5.1.La columna donde aparece el nùmero negativo mayor seleccionado se llama columna pivote y nos indica cual variable de decisiòn es la entra a la BASE .

5.2.Con los valores soluciòn, entre cada uno de los tèrminos de la columna pivote y tomamos el valor menor de estos cocientes para designar nuestra fila pivote y nos indica la variable de holgura que sale de la base y nos determina nuestro pivote operaciones.

5.3.Con el pivote operacional todos los valores de la fila pivote con la finalidad de hacerlo 1.

5.4.Hacer 0 todos los valores de la columna pivote incluyendo la funciòn objetivo.

5.5.Ahora indicamos la columna pivote.

5.6Dividimos los valores soluciòn entre los valores de la columna pivote para halllar la fila pivote y donde se crucen tendremos el pivote operacional.

La intenciòn de hacer 1 el pivote operacional es con la finalidad de hacer 0 la columna pivote incluyendo la funciòn objetivo.

Ejercicio 1.

Un carpintero tiene 90, 80 y 50 metros lineales de caoba, cedro y nogal respectivamente. El producto A requiere 2, 1 y 1 metro lineales de caoba, cedro y nogal repectivamente el producto B requiere 1, 2, y 1 metro lineales de caoba, cedro y nogal repectivamente. Si el´producto A se vende a $12 y el producto B se vende a $10. ¿Cuantas unidades de cada producto deben fabricarse para obtener la ganacia al maximo?

2x+y<90>

x+2y<80>

x+y<50>

z=12x+10y

Paso 1. Igualamos las ecuaciones

2x+y=90

x+2y=80

x+y=50

Cambiamos de lugar "y" y "x" en z

-12x-10y+z=0

Paso 2. Realizamos el cuadro.

Dividimos los valores de solución entre la columna pivote. Ejemplo: 90/2=45; 80/1=80; 50/1=50 después de dividir todos tomamos el de menor valor y esto indicara que es la fila pivote
En este caso es de 45.

Para determinar R2 multiplicamos por (-1) a R1+R2
Ejemplo: 1(-1)+1=0
½(-1)+2=3/2
Y así sucesivamente.

Multiplicamos R3(-1/2)+R1
R3(-3/2)+R2
R3(4)+R4

Ya convertidos se nos da el resultado de “x” y “y”.